遇到和你同一天生日的人概率有多大？

　　出品：科普中国

　　制作：李瑞（大阪大学 ）

　　监制：中国科学院计算机网络信息中心

　　3月14日是什么日子？

　　是日本的白色情人节，同时也是圆周率之日（圆周率常用的近似值是3.14）。不仅如此，很多名人都出生在这一天，例如科学家爱因斯坦、篮球运动员史蒂芬库里等。

　　所以有人将这一天称为“诞生奇迹的日子”。不过如果仅因为这些事都发生在同一天，或是有很多名人都在这一天出生，就将其称为“特殊的日子”，未免太过感性。毕竟，两个人在同一天出生的概率可能比你想象的要大很多。

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　　一个班级中，出现相同生日的概率有多大？

　　假设某小学某个班级有学生40人，其中出现相同生日（同月同日）的概率有多大？

　　这其实是一个排列组合的问题。首先，假定同日出生的情况确实存在，那么可能的组合除了最简单的一种——两个人出生在同一天，还会有很多种。不同日期都存在生日相同的情况，比如两个人出生在3月14日，两个人出生在4月13日。可能同一天出生的人不止两个，例如3月14日出生的人有三个。

　　这样考虑起来的话，还可能出现三个人出生在某一天，四个人出生在另外一天之类的复杂情况。如果想要列举每个可能的组合，再把概率相加，事实上几乎是不可能完成的任务。

　　不过，假如从反面进行思考，这个问题就会变得简单很多。

　　同一个班级有重复生日和没有重复生日这两个事件发生的概率相加为1，只要计算出没有出现生日重复的概率，再用1减去这一概率就是我们想要的结论。

　　如此一来，我们可以将问题简化成一个40人的小学班级中没有任何两个（或者更多）人出生在同一天的概率。

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　　为了便利，我们假定先把所有人请到教室外面，然后再挨个把同学们叫回来，并在这一过程中计算新加入同学和之前同学的生日都不相同的概率。

　　假设第一位进教室的同学生日是3月14日，我们请第二位同学进场，为了满足题目的要求，第二位同学的生日可以是365天中除了3月14日的的任何一天，与第一位同学生日不相同的概率是364/365。（这里我们做了两个假定，第一是不考虑闰年的情况，第二是全年每天的出生率应该均等。）

　　请第三位同学入场，他的生日不能和之前两位同学一样，那么现在概率就变成了（364/365）×（363/365），第一个括号是前两位同学生日不相同的概率，第二个括号是第三位和前两位生日不同的概率，相乘的结果就是三人生日都不同的概率。四个人生日不同的概率就是（364/365）×（363/365）×（362/365）……

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　　以此类推，一直计算到第40个人，再用1来减去算出的概率，就是我们想知道的问题答案，也就是40个人中出现生日重复事件的概率。

　　最后得到的结果是89.1%。是不是比预想的要大？

　　如果人数继续增加，这个概率还会急剧上升，50个人班级的这一概率是97.0%，60个人则达到99.4%，70个人已经是99.9%。换句话说，70个人的班级内没有任何生日相同情况出现的概率小于千分之一。

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　　小贴士：实际过程中我们无需傻傻地计算三四十次，计算机软件（简单的电子表格即可）能帮助我们完成这种重复繁琐的任务。

　　有一个非常经典的数学“悖论”叫做“生日问题”：在一个房间最少要多少人，可以让其中两个人生日相同的概率大于50%？

　　根据上面的计算方法，我们可以很容易地得到答案，23个人，相信这一数字比大多人的直觉预估都要少。虽然称为“悖论”，但从引起逻辑矛盾的角度来说生日问题并不是悖论，它被称作悖论只是因为这个数学事实与一般直觉相抵触而已。毕竟大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。

　　遇到和自己同一天生日的人概率有多大？

　　说到这里，你可能会有一个疑惑：既然上面算出的概率都大得出乎意料，那为什么自己从小到大都没在班级中遇到和自己同天出生的人？

　　其实，如果你足够聪明，应该会意识到这是另外的一个命题——一个40人的班级中，出现和自己同天生日人的概率是多少？

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　　我们还是用逐一请同学们进教室的思考方式解答问题。先计算40人班级中没有任何一个人跟自己生日相同的概率，再用1减去这个值，就是我们需要的结果。

　　首先“我”进入教室，第二个进入教室的同学生日和“我”不同的概率是364/365，第二、第三个同学生日和“我”都不同的概率是（364/365）×（364/365），进入第四个同学时的答案是（364/365）×（364/365）×（364/365）……

　　以此类推，当进入第n个同学的时，概率是（364/365）的n-1次方。最后，我们再用1减去上面的结果，就是n个人的班级中，出现和自己同天生日人的概率。计算结果如下：4个人的班级（0.8%）、23个人的班级（5.8%）、40个人的班级（10.1%）……

　　结果来看比上一个问题更加符合我们的普遍认知。所以40个人的班级中，出现和自己生日相同同学的概率是10.1%。

　　我们每个人从小到大都会加入很多班级，从以上的计算结果来看，假如从小到大任何一个班级中都没有生日相同的人，那才是真正的奇迹！我们以小学每个班60人，初中每个班70人，高中每个班50人，大学每个班30人进行计算，结果是小于一千万分之五，概率上来说已经到了彩票大奖的级别。

　　所以，一群人中出现生日相同的概率就已经比很多人的预想要大的多，更不用说全球几十亿人了。

　　当然，由于实际上每天的出生率并没有显著差别，全球70亿人中，某个日期（注意是日期不是具体的年份加日期，如3月14日，而非1985年3月14日）对应的人口总数大约是2000万。如果再考虑历史上已经死去的人，那某天出生的人必然都是天文数字，其中的任何一天都有无数的名人出生或者故去。

　　这么说来，虽然我们希望每一天都是美好、特别、神奇的日子，不过其实每一天都平凡而普通，任何一天都算不上是“奇迹之日”。